Физика Математика Решения задач Контрольная за первый курс Начала анализа Теория вероятности Теория поля Кратные и криволинейные интегралы Пределы, функции Вычислить интеграл Методические указания к контрольной Кафедра математики

Кафедра математики. Готовимся к выполнению контрольной, курсовой работы

Теорема Остроградского-Гаусса

Пример Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность параллелепипеда, образованного плоскостями x = 0, x = 1, y = 0, y = 2, z = 0, z = 3 (рисунок 4).

Решение. Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса:

Пример Найти интеграл , где S − внешняя поверхность пирамиды (рисунок 5).

Решение.
Рис.5
Рис.6

Применяя формулу Остроградского-Гаусса можно записать искомый поверхностный интеграл в виде Вычислим тройной интеграл. Область интегрирования в плоскости xy показана на рисунке 6. Полагая z = 0, получаем Следовательно, область D можно представить в виде множества Решая неравенство относительно переменной z, получаем Тогда интеграл равен

Если такие суммы Дарбу стремятся к одному и тому же числу I,

если  , то это число I называется общим 

криволинейным интегралом второго рода.

 

Определения:

X=X (t) Эта кривая называется гладкой если: 

Y=Y (t) *она непрерывна

  *непрерывна частная производная   и 

Кривая  -- кусочно-гладкая , если *она непрерывная, * и  имеют конечное число точек разрыва.

Если кривая  имеет конечную длину, то она является спрямляемой.

  Любая кусочно-непрерывная кривая является спрямляемой.

Точка называется особой, если в этой точке   и  одновременно = 0.

http://predtm.ru