Физика Математика Решения задач Контрольная за первый курс Начала анализа Теория вероятности Теория поля Кратные и криволинейные интегралы Пределы, функции Вычислить интеграл Методические указания к контрольной Кафедра математики

Кафедра математики. Готовимся к выполнению контрольной, курсовой работы

Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования

Пример Определить, является ли потенциальным векторное поле ? Если да, найти его потенциал.

Решение. В данном случае . Вычислим ротор заданного поля. Следовательно, поле потенциально. Чтобы найти его потенциал, проинтегрируем по переменной x. В последнем выражении переменные y и z рассматривались как константы. Теперь продифференцируем потенциал u по переменной y и приравняем к Q. Из последней формулы видно, что . Для определения G (y,z) проинтегрируем последнее соотношение по y и добавим как постоянную функцию H (z). Таким образом, потенциал имеет вид Наконец, Полагая равным , находим Окончательный ответ: где С0

− произвольная постоянная.

 

аналог массы тела с неоднородной плотностью 

В этом случае  называется поверхностным интегралом 1-го рода

  Опр. Двусторонняя поверхность называется ориентированной, если из двух возможных направлений нормалей выбрано определенное.

  Опр. Правильно-ориентированна, если выбранное направление нормали составляет острый угол с положительным направлением оси Z.

  *Интеграл 1-го рода не зависит от ориентации поверхности.

  *Справедливо свойство линейности:

 

  *Свойство аддитивности

 

Если есть две поверхности, имеющие две общие точки площади, то интеграл 1-го рода по S

  !!! Для интегралов 1-го рода справедлива теорема о среднем

http://predtm.ru