Физика Математика Решения задач Контрольная за первый курс Начала анализа Теория вероятности Теория поля Кратные и криволинейные интегралы Пределы, функции Вычислить интеграл Методические указания к контрольной Кафедра математики

Кафедра математики. Готовимся к выполнению контрольной, курсовой работы

Интегрирование рациональных функций

Вычислить интегралы от простейших дробей.

Вычислить интеграл . . . .

В данном разделе мы рассмотрим 8 специальных классов интегралов от тригонометрических функций. Для каждого класса применяются определенные преобразования и подстановки, позволяющие получить аналитическое решение.

Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

Найти интеграл . . .

Для интегрирования рациональной функции , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

  1. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;
  2. Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;
  3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;
  4. Вычислить интегралы от простейших дробей.
Рассмотрим указанные шаги более подробно. Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x) больше степени знаменателя Q(x)), разделим многочлен P(x) на Q(x). Получим следующее выражение: где - правильная рациональная дробь. Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби Запишем многочлен знаменателя Q(x) в виде где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней. Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей. Запишем рациональную функцию в следующем виде: Общее число неопределенных коэффициентов Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni , ... должно быть равно степени знаменателя Q(x). Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q(x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni , .... Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов. Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей. Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул:
У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат: где Затем применяются следующие формулы:
Интеграл может быть вычислен за k шагов с помощью формулы редукции
  1. Теорема1. Пусть на прямоугольнике  задана функция - непрерывная. Несобственный интеграл , причем сходимость является равномерной по параметру . В этом случае - непрерывна на

    Доказательство.

     - непрерывна Т Элементарная математика
       

    Функциональная последовательность - сходится равномерно, она непрерывнапо теореме о предельная функция является непрерывной, т.е. -непрерывна.

http://predtm.ru