Физика Математика Решения задач Контрольная за первый курс Начала анализа Теория вероятности Теория поля Кратные и криволинейные интегралы Пределы, функции Вычислить интеграл Методические указания к контрольной Кафедра математики

Кафедра математики. Готовимся к выполнению контрольной, курсовой работы

Производная показательной и логарифмической функции

Вычисление длин дуг кривых, заданных  параметрически 

Вычислить длину астроиды:, .

Вычислить длину дуги эллипса

Определение производной

Найти производную функции .

Вычислить производную функции

Производные гиперболических функций легко находятся, поскольку гиперболические функции являются комбинациями ex и e−x.

Вычислить производную функции .

Производная степенной функции

Вычислить производную функции .

Вычислить производную функции .

 

Предполагается, что основание a показательной и логарифмической функции больше нуля и не равно единице: a > 0, a ≠ 1. Производная показательной функции y = ax с основанием a определяется формулой

где ln a - натуральный логарифм a, т.е. логарифм a по основанию е, приблизительно равному 2,718281828... (2.7, затем два раза год рождения Л.Н.Толстого). Знаменитое трансцендентное число е можно вычислить с любой степенью точности с помощью различных компьютерных алгоритмов. Если a = е, то получаем красивый результат в виде Производная логарифмической функции y = loga x определяется выражением Для натурального логарифма y = ln x производная равна

Пример Найти производную функции .

Решение. Дифференцируя данную показательную функцию как сложную, находим

Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.

а) Объём.

 Как мы знаем, объем V тела, ограничен­ного поверхностью , где - неотрицательная функ­ция, плоскостью  и цилиндрической поверхностью, направ­ляющей для которой служит граница области D, а образующие параллельны оси Oz, равен двойному интегралу от функции  по области D :

Пример . Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x=0, у=0, х+у+z=1, z=0 (рис. 17).

 

  Рис.17 Рис.18

Решение.  D - заштрихованная на рис. 17 треугольная область в плоскости Оху, ограниченная прямыми x=0, у=0, x+y=1. Расставляя пределы в двойном интеграле, вычислим объем:

Итак,   куб. единиц.

Замечание 1. Если тело, объем которого ищется, ограни­чено сверху поверхностью  а снизу—поверхностью , причем проекцией обеих поверхностей на пло­скость Оху является область D, то объем V этого тела равен разности объемов двух «цилиндрических» тел; первое из этих цилиндрических тел имеет нижним основанием область D, а верх­ним - поверхность   второе тело имеет нижним осно­ванием также область D, а верхним - поверхность  (рис.18).

Поэтому объём V равен разности двух двойных интегралов :

или

  (1)

Легко, далее, доказать, что формула (1) верна не только в том случае, когда  и  неотрицательны, но и тогда, когда  и - любые непрерывные функции, удовлетворяющие соотношению

Теорема 2. Если F(x) есть первообразная для f(x) на промежутке (a;b), а G(x) – другая первообразная для f(x) на (a;b), то G = F + C, где C – число.

Доказательство.

Возьмем производную от разности G – F: (G – F)¢ = G¢ – F¢ =
= f – f = 0. Отсюда следует: G – F = C, где C ¾ число, то есть G = F + C.

Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a;b) называется неопределенным интегралом и обозначается òf(x)dx. Если F(x) – первообразная для f(x), то òf(x)dx = F(x) + C, где C – произвольное число.

Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием.

Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F¢(x) = f(x) соответствует формула òf(x) dx = F(x) + C интегрального исчисления. Отсюда получается таблица неопределенных интегралов:

1) ò dx = x + C;

 7) ò cosx dx = sinx + C;

2) ò xadx=(a¹1);

 8) ;

3) ;

 9) ;

4) ò exdx =ex+C;

10)

5) ò axdx =axlogae+C (a¹1) ;

11)

6) ò sinx dx=-cosx + C;

12) .


http://predtm.ru