Физика Математика Решения задач Контрольная за первый курс Начала анализа Теория вероятности Теория поля Кратные и криволинейные интегралы Пределы, функции Вычислить интеграл Методические указания к контрольной Кафедра математики

Кафедра математики. Готовимся к выполнению контрольной, курсовой работы

Производная сложной функции.

Геометрический смысл дифференциала Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x0 и принимает в этой точке значение y0= f(x0). Рассмотрим график этой функции

Пример. Найти производную функции y = x5.

Найти производную функции y=sin x.

Производная обратной функции

Рассмотрим примеры вычисления производной сложной функции. Найти производнуюфункции .

Найти производную функции  .

Рассмотрим несколько примеров применения основных правил вычисления производной

Теорема 12.1 Пусть функция  u =φ(x) имеет в некоторой точке x0 производную , а функция  имеет в соответствующей точке  производную . Тогда сложная функция  в точке x0 также имеет производную, равную произведению производных функций  и φ(x):

 .

Коротко это соотношение можно записать в виде  .

Доказательство. Дадим аргументу  x приращение ∆ x. Тогда функция u =φ(x) получит приращение ∆ u, а функция  получит приращение ∆ y. Так как функции φ(x) и  имеют производные, то есть дифференцируемы, то , а , где  при  и  при .

Подставим выражение для ∆u в выражение  для ∆y:

.

Разделим это равенство на ∆x:

.

Если  , то   и (как следует из выражения для ∆ u) .  Но тогда и . Поэтому

=.

Теорема доказана.

Остановимся на одном частном случае применения этой теоремы. Пусть ,  где C – константа. Тогда .

Пусть, например, . Здесь . Введём обозначение , тогда .

Дифференциал функции двух переменных

Рассмотрим функцию z = f(x,y), имеющую в точке Р0(х0,у0) частные производные f¢x(х0,у0) и f¢у(х0,у0). Перейдём от точки Р0 к точке R0(x0+Dx,y0+Dу), придавая переменным х и у в точке Р0 произвольные приращения Dx и Dу, соответственно. При этом функция в точке Р0 получит приращение

  Df(х0,у0) = f(x0+Dx,y0+Dy) – f(x0,y0) = f(R0) – f(P0).

Если приращение функции f(x,y) можно представить в виде

 Df(х0,у0) = f¢x(х0,у0)Dx + f¢у(х0,у0)Dу + a(Dx;Dу) Dx + b(Dx;Dу)Dу,  (1)

где , то функция называется дифференцируемой в точке Р0(х0,у0). Сумма первых двух слагаемых в правой части равенства (1) называется дифференциалом функции f(x,y) в точке Р0 и обозначается df(x0,y0):

 df(x0,y0) = f¢x(х0,у0)Dx + f¢у(х0,у0)Dу.  (2)

Если точка, в которой вычисляется дифференциал не существенна, его принято обозначать просто df. Из определения следует, что дифференциал представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращений её аргументов. Полагая поочерёдно f(x,y) = х и f(x,y) = у, получим, что дифференциалы dх и dy независимых аргументов функции х и у равны соответственно Dx  и Dу . Таким образом

 df = f¢x dх + f¢у dу.

Раньше говорилось о том, что из существования частных производных в точке не следует непрерывности функции в этой точке. Однако, из справедливости равенства (1) следует

 ,

а это означает непрерывность функции в точке (х0,у0). Следовательно, дифференцируемая в точке функция обязательно непрерывна в этой точке.


http://predtm.ru