Физика Математика Решения задач Контрольная за первый курс Начала анализа Теория вероятности Теория поля Кратные и криволинейные интегралы Пределы, функции Вычислить интеграл Методические указания к контрольной Кафедра математики

Кафедра математики. Готовимся к выполнению контрольной, курсовой работы

Исследование функций с помощью производных

Условие постоянства функции на интервале

Условия монотонности функции на интервале Рассмотрим сначала достаточные условия строгой монотонности функции на интервале.

Отыскание точек локального экстремума функции Как следует из теоремы 17.1, производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума этой функции равна нулю. Поэтому функция, дифференцируемая на некотором интервале, может иметь на этом интервале локальный экстремум только в тех точках, где её производная равна нулю. Такие точки, т.е. точки, в которых производная функции равна нулю, называются точками возможного экстремума или стационарными точками

Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба

Асимптоты графика функции Найти асимптоты графика функции .

Рассмотрим примеры нахождения локальных экстремумов с помощью производной.

Пример. Найти локальные экстремумы функции .

Решение. Найдём критические точки заданной функции:  при  и при . Заданная функция дифференцируема на всей действительной оси, поэтому других критических точек нет. Выясним, какой знак имеет производная   в окрестности каждой из точек   и : при  и при  , при  . Это значит, что слева от точки  производная  отрицательна, справа положительна, слева от точки  производная положительна, справа отрицательна. В каждой из этих точек функция непрерывна (так как дифференцируемость функции означает её непрерывность). Поэтому на основании теоремы 23.1 можно сделать вывод, что в точке  функция имеет минимум, , в точке  функция имеет максимум, .

Пример. Найти локальные экстремумы функции .

Решение. Найдём критические точки: при  , при  , при  функция производной не имеет. Таким образом, единственной критической точкой является точка . Так как слева от этой точки производная отрицательна, справа положительна, в самой же этой точке функция непрерывна, то в этой точке функция имеет минимум, при этом .

Пример. Найти локальные экстремумы функции .

Решение. Найдём критические точки:  при . Так как функция дифференцируема на всей действительной оси, то других критических точек нет. Производная  положительна и слева, и справа от точки , в самой этой точке функция непрерывна (в силу дифференцируемости), поэтому в этой точке функция не имеет экстремума.

В ряде случае исследование знака производной  слева и справа от критической точки оказывается затруднительным. Однако если в этой критической точке функция  имеет равную нулю первую производную (то есть эта точка является стационарной) и, кроме того, имеет отличную от нуля вторую производную, то можно указать следующее достаточное условие наличия в данной точке локального экстремума.

Теорема 23.2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция  имеет в стационарной точке c отличную от нуля вторую производную. Тогда функция  имеет в точке c максимум, если , и минимум, если .

Доказательство. Функция  является производной функции , поэтому, в соответствии с теоремой 16.1, функция   в точке c убывает при   и возрастает при . Поскольку по условию точка c является стационарной, т.е. , то убывание (возрастание) функции  в точке c означает, что найдётся такая окрестность точки c, в пределах которой  положительна (отрицательна) слева от точки  c и отрицательна (положительна) справа от точки c. Но тогда по

теореме 23.1 функция  имеет в точке c максимум (минимум).

Теорема доказана.

Пример Найти локальные экстремумы функции .

Решение. Функция определена для значений аргумента . Найдём критические точки:  при .

Производная непрерывна на всей области определения функции. Таким образом, единственной критической точкой является стационарная точка . Найдём вторую производную заданной функции: .

В точке   . Так как в точке  , то на основании теоремы 23.2 можно сделать вывод, что в этой точке функция имеет минимум, при этом .

Приведем примеры дифференциальных уравнений первого порядка:

 y¢ – x4 = 0; xsiny¢ – lny = 0; xcosy + (y¢ – y2)sinx = 0.

Решением уравнения (1) называется такая функция y = j(x), определенная на некотором промежутке (x1, x2), что при подстановке её вместо y в уравнение (1) полу­чается верное равенство на всем промежутке (x1, x2). Очевидно, что подстановка y = j(x) возможна только тогда, когда функция j(x) на промежутке (x1, x2) имеет первую производную. Необходимо также, чтобы при любом значении переменной x из промежутка (x1, x2) точка с координатами x, y, y¢ принадлежала множеству B, на котором определена функция F. Совокупность всех решений дифференциального уравнения называется его общим решением.

В некоторых случаях уравнение (1) определяет переменную y¢ как функцию независимых переменных x и y:

 y¢ = f(x,y). (2)

Тогда дифференциальное уравнение (2) равносильно дифференциальному уравнению (1) и называется разрешенным относительно производной.

Рассмотрим свойства решений уравнения (2). Введем в рассмотрение координатную плоскость XY переменных x и y. Мы будем рассматривать лишь такие уравнения, у которых область определения правой части есть некоторая открытая область G в плоскости XY (область называется открытой, если каждая точка входит в неё вместе с некоторой своей окрестностью). Пусть функция y = j(x) – решение уравнения (2). Тогда график этой функции называется интегральной линией или интегральной кривой. Эта кривая лежит в области G. Если точка (x0, y0) принадлежит области G, то интегральная кривая проходит через эту точку. Интегральная кривая в рассматриваемой точке имеет касательную, угловой коэффициент которой равен

  j¢(x0) = f(x0, j(x0))

Таким образом, в каждой точке области G можно установить положение касательной к графику решения уравнения (2), проходящему через эту точку.

Можно себе представить, что в каждой точке области G построен короткий отрезок касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Тогда получится чертеж, который называется полем направлений, задаваемым уравнением (2). Пример приведен на рисунке 1. Таким образом, каждое дифференциальное уравнение вида (2) задает на плоскости XY в области G поле направлений. Интегральные линии этого уравнения касаются направления, задаваемого полем в этой точке.


http://predtm.ru