Математика примеры решения задач

Графика
Стили в архитектуре и дизайне
Французский стиль в русской архитектуре
История дизайна
Начертательная геометрия
Комплексный чертеж
Аксонометрические проекции
Метрические задачи
Построить проекции
Машиностроительное черчение
Физика
Курсовая работа
Лабораторные работы
Молекулярная физика
Закон полного тока
Машины постоянного тока
Физическая природа проводимости
Проводниковые материалы
Полупроводниковые материалы
Расчет управляемого тиристорного выпрямителя
Классификация приборов микроволнового диапазона
Свободные носители зарядов в полупроводниках
Туннельный диод
Высокочастотные полевые транзисторы
Электромагнитное поле
Основные уравнения электродинамики
Энергия электромагнитного поля
Плоские электромагнитные волны
Диэлектрик и идеальный проводник
Элементы теории дифракции
Волны в коаксиальной линии
Математика
Пределы, функции
Вычислить интеграл
Методические указания к контрольной
Матрицы и определители
Контрольная за первый курс
Начала анализа
Теория вероятности
Теория поля
Кратные и криволинейные интегралы
Ядерная энергетика
Атомные реакторы и батареи
Лекции по радиобиологии
Основы получения ядерной энергии
Реакция деления
Плотность потока нейтронов
Скорости нейтронных реакций
Нейтронный цикл в тепловом ядерном реакторе
Реакторный теплоноситель
Уравнение возраста Ферми
Закон диффузии тепловых нейтронов
http://kursgm.ru/
Коэффициент использования тепловых нейтронов
Ячейка активной зоны реактора РБМК-1000
Меры по уменьшению неравномерности поля тепловых нейтронов.
Кинетика ядерного реактора
Запаздывающие нейтроны
Переходные процессы при сообщении реактору отрицательной реактивности
Процедура ступенчатого пуска и ядерная безопасность реактора
Коэффициент воспроизводства ядерного топлива
Стационарное отравление реактора ксеноном
Нестационарное переотравление реактора самарием
Эффективный радиус стержня-поглотителя
БОРНОЕ  РЕГУЛИРОВАНИЕ ВВЭР
РАСЧЁТНОЕ  ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЯДЕРНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ ВВЭР ПРИ ЕГО ЭКСПЛУАТАЦИИ
Алгоритм расчёта пусковой концентрации борной кислоты

Линии и поверхности уровня В некоторых случаях можно получить наглядное геометрическое представление о характере изменения функции, рассматривая ее линии уровня (или поверхности уровня ), то есть линии (поверхности), где данная функция сохраняет постоянное значение

Во многих вопросах геометрии, естествознания и т.д. приходится иметь дело с функциями двух, трех и более переменных. Пример. Решая уравнение сферы  относительно  при , получим , то есть - функция двух переменных. Определена эта функция в круге

Примеры. Исследовать непрерывность функции . Решение. Найдем полное приращение функции 

Частные производные функции нескольких переменных Найти частные производные функций: .

Пример. Вычислить частные производные функции 

Рассмотрим электрическое поле точечного заряда , помещенного в начале координат:

  Подобно тому, как дифференциал функции одной переменной является приращением ординаты касательной, полный дифференциал функции двух переменных есть приращение аппликаты касательной плоскости.

Пример.  Найти частные производные второго порядка функции

Пример. Найти локальные экстремумы функции  в области

Пример. Разложить функцию по формуле Тейлора с центром разложения в точке  до членов второго порядка включительно.

Пример. Найти точки локального экстремума функции .

Методом Лагранжа найти экстремум функции  при условиях связи

Криволинейные интегралы Интегралы, которые мы рассматривали до сих пор, имели своими областями либо отрезки на прямой, либо некоторые области на плоскости и в пространстве.

Наибольшее и наименьшее значение функции Если функция  дифференцируема в ограниченной замкнутой области, то она достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке или в граничной точке области.

Задача о массе кривой Рассмотрим физическую задачу, которая приводит к понятию криволинейного интеграла I типа.

Криволинейные интегралы II типа Задача о работе плоского силового поля

Формула Грина-Остроградского связывает двойной интеграл по области (P) с криволинейным интегралом по границе (L) этой области.

Существование и вычисление криволинейных интегралов II типа

Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования Пример. Вычислить   вдоль кривой: 1) y=x, 2) y=x2, 3) y=x3.

Определить ранг матрицы

Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

Пример. Вычислить определитель матрицы А =

Решение произвольных систем линейных уравнений Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Система координат Для определения положения произвольной точки могут использоваться различные системы координат. Положение произвольной точки в какой- либо системе координат должно однозначно определяться. Понятие системы координат представляет собой совокупность точки начала отсчета (начала координат) и некоторого базиса. Как на плоскости, так и в пространстве возможно задание самых разнообразных систем координат. Выбор системы координат зависит от характера поставленной геометрической, физической или технической задачи. Рассмотрим некоторые наиболее часто применяемые на практике системы координат.

Пример. Найти скалярное произведение векторов  и ,

Линейное (векторное) пространство Как известно, линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число) определены по-своему для каждого множества (числа, многочлены, направленные отрезки, матрицы). Сами операции различны, но их свойства одинаковы.

Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам коллинеарным плоскости Пусть заданы два вектора  и , коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы  должны быть компланарны.

Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

Пример. Задано линейное преобразование А, переводящее вектор в вектор  и линейное преобразование В, переводящее вектор  в вектор . Найти матрицу линейного преобразования, переводящего вектор  в вектор .

Пример. Найти предел

Комплексные числа Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица

Даны два комплексных числа . Требуется а) найти значение выражения в алгебраической форме, б) для числа  найти тригонометрическую форму, найти z20, найти корни уравнения

Найти производную функции .

Исследование функций с помощью производной Возрастание и убывание функций

Асимптоты При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график. Находим область существования функции.

Пример. Составить уравнения касательной и нормальной плоскости к линии, заданной уравнением   в точке t = p/2.

Производная по направлению Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М1( x + Dx, y + Dy, z + Dz).

Исследовать функцию  и построить ее график.

Производные и дифференциалы функций нескольких переменных

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(1, 1, 1).

Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной

Движение в вязкой среде. Пусть частица постоянной массы падает под действием силы тяжести, причем сила сопротивления Fr, действующая на частицу со стороны внешней среды, пропорциональна скорости и противоположна ей по направлению

Основные понятия теории дифференциальных уравнений Дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором неизвестной является функция одной или нескольких переменных, причем в уравнение входят производные этой функции.

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называют уравнение

Неопределенный и определенный интегралы

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Системы линейных дифференциальных уравнений Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных.

Метод подведения под знак дифференциала Если подынтегральное выражение содержит некоторую функцию и ее производную, то в этом случае используют метод подведения под знак дифференциала

Пример. Найти интеграл

Найти интеграл . Решение. Применим указанный прием: выделим в числителе производную квадратного трехчлена  и преобразуем числитель:

Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших

Найти интеграл . Решение. Рациональная дробь, стоящая под знаком интеграла, неправильная, так как степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе.

Пример. Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

Интегрирование иррациональных функций

Геометрический смысл определенного интеграла Формула Ньютона–Лейбница

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (первого рода)

Приложения определенного интеграла Вычисление площади плоской фигуры

Площадь криволинейного сектора Область, ограниченная непрерывной линией  и двумя лучами  и , где  и  – полярные координаты, называется криволинейным сектором

Пример. Найти длину дуги кривой , заключенной между лучами  и .

Задача 5. Вычислить . Решение. Выполним замену переменной

Исследовать на сходимость ряд  

Вычислить Решение. Разложим подынтегральную функцию в сумму простейших дробей.

Найти коэффициенты  разложения в ряд Фурье по синусам функции .

Понятие о математическом моделировании Ранее уже было отмечено, что реальность слишком сложна для того, быть предметом исследования в науке. Исследованию доступны лишь модели – умозрительные конструкции, которые должны отражать существенные свойства реального объекта. Замену исходного объекта его идеализированным образом – моделью – и последующее исследование модели называют моделированием. Если модель формулируется в терминах математики, то моделирование называют математическим. Оно сочетает в себе достоинства так экспериментальных, как теоретических методов

Динамика популяции. Часто при построении модели явления либо невозможно указать фундаментальные законы, которым это явление подчиняется, либо вообще нет уверенности в существовании подобных законов, допускающих математическую формулировку. В таких случаях используют аналогии с уже известными явлениями.

 

Кратные и криволинейные интегралы