Математика Примеры решения задач Интегралы

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА. Практикум по решению задач

Изменить порядок интегрирования в интеграле .

Вычислить , где  

Вычислить тройной интеграл , где .

Исследование функции с использованием производной первого порядка

Вычислить: . Решение: Этот интеграл вычислим методом интегрирования по частям по формуле

Задание Решение: По условию задачи требуется вычислить площадь фигуры, ограниченную графиками данных функций.

Задание: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость

Задача. Записать двойной интеграл в виде повторного и изменить порядок интегрирования, если область интегрирования .

Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных координат к полярным: .

Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:   где

Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластины D, ограниченной линиями   

Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение типового варианта контрольной работы. Задание 1. Найти общее решение дифференциальных уравнений.

Задание 2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Так как производная в данном случае является функцией, зависящей только от переменной x, то его решение может быть получено в результате последовательного интегрирования

Решение типового варианта контрольной работы. Пример 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:

Пример2. Найти область сходимости ряда .

Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы

Задача 8. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя компьютерами поступают заказы от предприятий на вычислительные работы

Вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах Задача 1. Вычислить , если область  ограничена линиями .

 Задача 3. Дан двойной интеграл:. Восстановить область интегрирования  и изменить порядок интегрирования.

Задача 5. Вычислить двойной интеграл , если  ограничена окружностью .

Приложения двойного интеграла Вычисление площадей плоских фигур

 Задача 9. Вычислить объем тела, ограниченного эллиптическим параболоидом  и плоскостями 

Вычисление физических характеристик плоских фигур Масса плоской пластинки σ с переменной плотностью :

Тройной интеграл

 Задача 14. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидами ,  и плоскостями  

Вычисление физических характеристик пространственных фигур Масса тела  с переменной плотностью :

Пример 1. Вычислить интеграл , где .

Пример 5. В двойном интеграле  расставить пределы интеграции в том и другом порядке, если область D – треугольник с вершинами в точках O(0,0), A(1,0), B(1,1).

Пример 8. Изменить порядок интегрирования в интеграле .

Пример 2. Вычислить , где D ограничена кривыми , ху=1, ху=5.

Переход к полярным координатам в двойном интеграле

Пример 2. Вычислить , если область D ограничена окружностью , лежащей в первой четверти, и прямыми y=x и .

Пример 4. В двойном интеграле  перейти к полярным координатам и расставить пределы интеграции в том и другом порядке, если область D ограничена линиями

Геометрические приложения двойного интеграла Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Пример 4. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостями z=0, y+z=2 и цилиндром .

Пример 1. Найти массу круглой пластины D  с поверхностной плотностью ρ(х,у)=3-х-у.

Пример 3. Найти координаты центра тяжести однородной пластины плотности , ограниченной параболой и прямой х+у=2.

Тройной интеграл в декартовых координатах Пример 1: Вычислить интеграл , где G – область, ограниченная плоскостями x=0, y=0, z=0, x+y+z=1.

Пример 2: Вычислить интеграл , если область G ограничена гиперболическим параболоидом z=xу и плоскостями x+y=1 и z=0 (z>0).

Замена переменных в тройном интеграле Пример 1: Перейти к новым координатам и расставить пределы интегрирования в интеграле , где G- объем, ограниченный поверхностями x+y=1, x+y=-1, x-y=1, x-y=-1, z=0, z=x2+y2.

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах Пример 1: Перейти к цилиндрическим координатам и вычислить тройной интеграл , где G- объем, ограниченный цилиндром x2+y2=1 и плоскостями x+y+z=2 и z=0.

Кратные и криволинейные интегралы