Алгебра и аналитическая геометрия

Смешанное произведение векторов

Пусть даны три вектора , , .

Def 1. Смешанным произведением векторов называется произведение следующего вида: , т.е. вначале вектора  и  перемножаются векторно, а затем результат умножается скалярно на вектор .

В результате получается скалярная величина.

Свойства смешанного произведения.

Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на трех исходящих из одной точки векторах. Смешанное произведение больше нуля, если тройка правая, и отрицательная, если она левая.

Доказательство: Отложим вектора , ,  из одной точки. Возможны две ситуации:

a) Тройка , ,  – правая; б) Тройка , ,  – левая.

 


Пусть .

Тогда

Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Доказательство. Если один из векторов нулевой, то свойство очевидно.

Пусть , , ¹ 0.

 Пусть , ,  – компланарны. Тогда ^  .

  Пусть  Þ либо ^, либо .

В первом случае это означает, что вектор  ^ векторам , ,  Þ , ,  – компланарны. Во втором случае – || Þ   и  – линейно зависимы Þ , ,  – компланарны.

Смешанное произведение не зависит от группировки сомножителей, т.е. .

Доказательство. Тройки , ,  и , ,  ориентированы одинаково, значит знак смешанного произведения одинаковый. Модуль так же одинаковый в силу свойства 1.

Обозначение. Смешанное произведение векторов , ,  обозначается .

.

Следует из свойства циклической перестановки ориентированных векторов.

, .

Следует из свойств скалярного произведения.

Вычисление смешанного произведения в прямоугольных координатах.

Пусть даны три вектора: , , .

Тогда

.

,

т.е. смешанное произведение трех векторов равно определителю, строками которого являются координаты перемножаемых векторов.

Следствие.  – необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов.

Def 2. Четыре точки называются коллинеарными, если вектора лежат в одной плоскости.

Видно, что , , ,  – компланарны если вектора , ,  лежат в одной плоскости. Если

, , , , то условие компланарности векторов , ,  имеет вид:

.

Задача. Вычислить высоту тетраэдра, вершины которого расположены в точках , , , .

Решение.

. Но   

.

Направление числовой оси обычно указывается стрелкой. Если числовая ось расположена горизонтально, то, как правило, в качестве положительного выбирается направление слева направо. Любой точке числовой оси соответствует одно действительное число. Абсолютная величина этого числа равна расстоянию от точки до начала отсчета в заданном масштабе. При этом число равно нулю, если точка совпадает с началом отсчета; положительно, если точка расположена справа от начала отсчета; отрицательно, если точка расположена слева от начала отсчета.
Комплексные числа