Курс лекций и задач по физике Лабораторные работы Математика Дизайн Начертательная геометрия Основы получения ядерной энергии

 Основные уравнения электродинамики.

В электродинамике часто пользуются понятием точечного заряда. Под ним будем понимать заряженные тела, размеры которых значительно меньше расстояния между телами. В тех случаях, когда заряженные тела нельзя считать точечными для описания распределения зарядов вводят понятие объемной плотности электрического заряда в точке. Пусть в локальном объеме DV сосредоточен заряд Dqэ, то под плотностью будем подразумевать:

 [Кл/м3] (1).

Иногда заряженной оказывается только поверхность тела, в этом случае вводят поверхностную плотность заряда:, [Кл/м2]. (2).

Иногда заряженным оказывается некоторый контур, в этом случае вводят линейную плотность заряда: , [Кл/м] (3).

Направленное движение электрических зарядов называется электрическим током. Линии, вдоль которых перемещаются заряженные частицы, называются линиями тока. Электрический ток характеризуется вектором объемной плотности тока  и силой тока . Объемная плотность электрического тока равна заряду, проходящему в единицу времени через единичную поверхность перпендикулярно линиям тока.

 В среде с электрическим током введем единичную площадку перпендикулярно линиям тока, т.е. перпендикулярно вектору скорости движения заряженных частиц. Пусть в единице объема находится  электрических заряженных частиц [1/м3], тогда объемная плотность электрических зарядов в среде: . Анализ электрических цепей Расчет транформаторов малой мощности Расчетное задание по ТОЭ

 В единицу времени через единичную площадку перпендикулярно вектору скорости движения заряженных частиц будет проходить заряд: . В этом случае через единичную площадку, перпендикулярную линиям тока, а, стало быть, и перпендикулярную вектору скорости перемещения частиц, будет определяться: , [А/м2].

По аналогии вводят понятие поверхностной плотности электрического тока: , [А/м].

Введем вектор линейной плотности электрического тока: , [А].

Силой тока называется заряд, проходящий в единицу времени через полное сечение тела. Пусть за время через полное сечение тела прошел заряд, тогда:

, [А].

2.2 Уравнение непрерывности.

В среде с током выделим некоторый объем V, ограниченный поверхностью S. В единицу времени через элементарную площадку  проходит заряд , а через всю поверхность S проходит заряд: .

Пусть за время Dt через поверхность прошел заряд dqэ, тогда

.

В свою очередь, полный электрический заряд, сосредоточенный в объеме:

.

В левой части последнего равенства переставим местами дифференцирование по времени и интегрирование по объему, это допустимо т.к. мы полагаем, что  и ее производные непрерывны в каждой точке. Будем полагать, что функция rэ характеризует распределение электрического заряда в объеме.

В этом случае в левой части интегрирование и дифференцирование можно поменять местами:  .

В выражении используется частная производная, так как r под интегралом является функцией не только координат, но и времени.

Правую часть преобразуем по функции Остроградского – Гаусса: .

— это интегральное уравнение для произвольного объема V. Это возможно, если равны подынтегральные выражения:

 — уравнение непрерывности (1).

Из него в частности следует, что истоками или стоками являются электрические заряды. Если мы предположим, что объемная плотность электрического заряда в объеме неизменна во времени, то производная по времени будет равна нулю, и мы придем к следующему соотношению:

 (2).

Поле, которое характеризуется неизменными во времени векторными или скалярными величинами называется постоянным или стационарным. Из (2) следует, что постоянные токи не имеют истоков и стоков, а их силовые линии векторного поля являются замкнутыми.

Закон сохранения заряда. Полученное уравнение непрерывности тесно связано с законом сохранения заряда и по существу является его дифференциальной. Закон сохранения заряда: Всякому изменению электрического заряда (q) внутри объема V, ограниченному поверхностью S, соответствует электрический ток, втекающий или вытекающий из этого объема

Первое уравнение Максвелла. В среде с постоянным током, который характеризуется вектором объемной плотности , выделим некоторый замкнутый контур V и поверхность S, которая опирается на этот контур. Введем положительную единичную нормаль к поверхности S.

Второе уравнение Максвелла. В результате обобщения многочисленных экспериментальных исследований Фарадей получил закон электромагнитной индукции: Переменное магнитное поле, пересекающее  замкнутый проводящий контур, наводит в этом контуре э.д.с., величина которой пропорциональна скорости изменения потока.

 Уточнение понятия о проводниках и диэлектриках. Среды могут существенно отличаться величиной объемной проводимости, поэтому при одной и той же напряженности электрического поля в них могут возбуждаться различные токи. Для удобства классификации сред на проводники и диэлектрики вводят понятия идеального проводника и идеального диэлектрика. Идеальные проводники – это среды, удельная проводимость которых бесконечна. Идеальные диэлектрики – среды, удельная проводимость которых равна нулю

 Граничные условия. Неприменимость уравнений Максвелла в дифференциальной  форме на границе раздела диэлектрических сред. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме справедливы для описания сред электродинамические параметры, которых либо являются непрерывными функциями координат поля в линейных средах, электродинамические параметры (eа,mа,s) которых не зависят от координат, либо являются непрерывными функциями координат. На практике, чаще всего возникают задачи, в которых присутствуют электродинамические среды, отличающиеся электродинамическими параметрами. На границе раздела сред, где соответствующие параметры меняются скачком, операция дифференцирования, а стало быть, и уравнения Максвелла в дифференциальной форме, незаконна. В этом случае для описания электромагнитного поля при переходе границы раздела сред, используют уравнения Максвелла в интегральной форме.

Условия для касательных составляющих вектора E и D На границе раздела сред, отличающихся eа, выделим точку. Проведем через нее нормаль к поверхности S. Через эту нормаль проведем плоскость р.

На линии пересечения плоскостей выделим элементарный отрезок Dl, так, чтобы его можно было считать прямолинейным, и касательная, составляющая Е в I и II средах у границы раздела, была распределена равномерно. Отрезок Dl включает точку, в которой построили единичную нормаль. В этой точке проведем единичный вектор касательный к Dl и единичный вектор перпендикулярный к Dl. В плоскости р построим контур высотой Dh так, чтобы участки контура CD и АВ находились в разных средах. Положительное направление обхода контура ABCD связано с направлением единичной нормали правилом правого винта.

Условия для касательных составляющих В и Н. Поверхностный ток. Условия для касательных составляющих магнитных векторов выводятся также как и для электрических. Через нормаль проводим плоскость р. На линии пересечения выделяем элемент длины Dl, малый настолько, чтобы в пределах этого участка касательные составляющие  в 1 и 2 средах были распределены равномерно.


http://predtm.ru