Начертательная геометрия Метрические задачи

Плоскости, касательные поверхностям

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Для построения линии пересечения таких поверхностей (ломаной линии) необходимо найти точки пересечения ребер одного многогранника с гранями второго, а затем наоборот - ребер второго с гранями первого, т.е. нужно многократно решить задачу на пересечение прямой с плоскостью. Полученные точки будут являться вершинами ломаной линии.

Пример . Построить линию пересечения конуса вращения со сферой Плоскостью симметрии данных поверхностей является фронтальная плоскость, поэтому можно применить способ вспомогательных сфер.

Пересечение кривых поверхностей Задача второго типа - одна из поверхностей имеет вырожденный вид

Способ концентрических сфер Предварительно скажем несколько слов о пересечении соосных поверхностей, т.е. поверхностей, имеющих общую ось вращения.

Линия пересечения двух поверхностей второго порядка является кривой четвёртого порядка (т.е. пересекается с плоскостью в четырёх точках). В некоторых частных случаях эта линия пересечения распадается на несколько частей.

Метрические задачи Задачи, в которых решаются вопросы измерения отрезков и углов, определения натуральной формы плоских фигур и т.п., называются метрическими.

Пример. Определить натуру угла между скрещивающимися прямыми a и b . Через произвольную точку А проведем прямые с и d, параллельные прямым а и b. В полученной плоскости проведем горизонталь и построим натуральную величину Δ А-1-2 (способом засечек, предварительно определив натуру каждой его стороны). Угол при вершине А будет искомым.

Перпендикулярность прямой и плоскости Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна ко всякой прямой этой плоскости. На комплексном чертеже перпендикулярность будет сохраняться:

Перпендикулярность плоскостей Две плоскости перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Но через прямую линию (перпендикуляр) в пространстве можно провести множество плоскостей перпендикулярных данной.

Взаимная перпендикулярность прямых общего положения Прямой угол между перпендикулярными прямыми общего положения на комплексном чертеже искажается (свойство ортогональной проекции прямого угла).

Решение пространственных задач на комплексном чертеже значительно упрощается, если интересующие нас объекты занимают в пространстве частное положение, т.е. располагаются параллельно или перпендикулярно плоскостям проекций.

Построение разверток призматических и цилиндрических поверхностей Цилиндрическая поверхность, как и призматическая вписанная (или описанная) в цилиндрическую поверхность и заменяющая её, состоит из параллелограммов. Натуральный вид параллелограммов можно построить двумя способами: либо по высоте и длине противоположных сторон; либо способом триангуляции, разбив параллелограмм на два треугольника.

Преобразовать чертеж проецирующей плоскости так, чтобы относительно новой плоскости она заняла положение плоскости уровня. Решение этой задачи позволяет определить истинную величину и форму плоской фигуры.

Общие понятия о развертывании поверхностей Будем рассматривать поверхность как гибкую нерастяжимую оболочку. В этом случае некоторые поверхности путём преобразования можно совместить с плоскостью без разрывов и складок. Поверхности, допускающие такое преобразование, называются развёртывающимися.

Развертка конической поверхности Для построения развёртки конической поверхности необходимо вписать в неё (или описать около неё) многогранную поверхность, т.е. заменить поверхность вращения многогранной поверхностью.

Построить три проекции призмы

Построить проекции пирамидальной поверхности

Построить комплексные чертежи точек

МНОГОГРАННИКИ. ЛИНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ МНОГОГРАННИКА. СЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ ПЛОСКОСТЯМИ. РАЗВЕРТКА МНОГОГРАННИКОВ

Пояснения

Многогранники – замкнутые пространственные фигуры, ограниченные плоскими многоугольниками, называемыми гранями многогранника. Общие стороны многоугольников называются ребрами. Построение чертежей многогранников сводится к построению проекций точек – вершин и отрезков прямых – ребер.

Призма – многогранник, две грани которого представляют собой равные многоугольники (основания). Ребра, не принадлежащие основаниям и параллельные друг другу, называют боковыми.

 Пирамида – многогранник, одна грань которого – плоский n-угольник (основание), а остальные грани являются треугольниками с общей вершиной.

 Многогранник называют правильным, если его грани представляют собой правильные и равные многоугольники.

Грани многогранника представляют собой плоскости. Поэтому построение точек и прямых на поверхности многогранника сводится к построению точек и прямых линий на плоскости.

 Точки на гранях призмы и пирамиды строятся при помощи вспомогательных прямых, принадлежащих соответствующим плоскостям граней.

Пересечение многогранников плоскостью: при пересечении многогранника плоскостью в сечении получается плоская фигура –многоугольник, ограниченный линиями пересечения секущей плоскости с гранями призмы или пирамиды. Вершинами этого многоугольника являются точки пересечения прямых (ребер многогранника) с плоскостью.

Разверткой поверхности многогранника называется плоская фигура, полученная при совмещении с плоскостью всех его граней. Для построения развертки гранной поверхности необходимо определить истинные размеры ее граней.

Развертка призматической поверхности выполняется двумя способами: нормального сечения и треугольников. При способе нормального сечения построение развертки выполняется в следующей последовательности:

– призматическая поверхности пересекается вспомогательной плоскостью, перпендикулярной ее ребрам (нормальное сечение);

– полученная в сечении ломаная линия разворачивается в прямую;

– на перпендикулярах к развернутой линии откладываются длины ребер призматической поверхности. Концы отрезков соединяются прямыми линиями.

Развертка поверхности пирамиды выполняется в следующей последовательности:

– определяют натуральную величину ребер и сторон основания пирамиды;

– по найденным трем сторонам строят одну из боковых граней пирамиды, затем последовательно пристраивают к ней остальные грани-треугольники;

– достраивают основание пирамиды.

При построении развертки поверхности пирамиды, усеченной плоскостями, дополнительно определяется натуральная величина положения точек пересечения на ребрах пирамиды. Полученные точки переносятся на развертку на соответствующие ребра и соединяются отрезками прямых линий.

Задача 4.1

Построить три проекции геометрической фигуры и линии на ее поверхности.

Задача 4.2

Построить три проекции геометрической фигуры и линии на ее поверхности.

Задача 4.3

Построить горизонтальную и профильную проекции усеченной пирамиды.

Задача 4.4

Построить горизонтальную и профильную проекции усеченной призмы. Определить натуральную величину фигуры сечения плоскостями. Построить развертку боковой поверхности усеченной призмы.

Задача 4.5

Построить горизонтальную и профильную проекции усеченной пирамиды. Определить натуральную величину фигуры сечения плоскостями. Построить развертку боковой поверхности усеченной пирамиды.

Контрольные вопросы

Какая фигура называется многогранником?

Дайте определения призмы, пирамиды, правильного многогранника.

Как определить недостающую проекцию точки на поверхности многогранника?

Что представляет собой сечение многогранника плоскостью?

В чем различие способа ребер и способа граней?

Как используется способ перемены плоскостей проекций при построении сечения многогранника плоскостью?

Что называется разверткой поверхности многогранника?

Разверткой какого правильного многогранника может быть равносторонний треугольник?

Кратные и криволинейные интегралы