Начертательная геометрия Аксонометрические проекции Метрические задачи Построить проекции Машиностроительное черчение

Машиностроительное черчение и инженерная графика

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ

Линия пересечения двух поверхностей второго порядка является кривой четвёртого порядка (т.е. пересекается с плоскостью в четырёх точках). В некоторых частных случаях эта линия пересечения распадается на несколько частей.

Особый интерес представляет случай, когда она распадается на пару кривых второго порядка (плоских). Это происходит, если поверхности имеют двойное прикосновение, т.е. касаются друг друга в двух точках (рисунок 12-5).

Признак касания поверхностей: если две поверхности в какой-либо общей для них точке имеют одну и ту же касательную плоскость (Г1 или Г2), то они касаются друг друга в этой точке. В нашем примере поверхности имеют двойное касание в точках А и В.

Плоские кривые, на которые в этом случае распадается их линия пересечения, проходят через прямую, соединяющую точки прикосновения (доказательство Н.Ф. Четверухина).

Следствием из положения о двойном прикосновении является следующее: если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка (или вписаны в неё), то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка (рисунок 12-6).

Это положение известно как теорема Гаспара Монжа.

Круговые сечения поверхностей второго порядка

Теорема о двойном прикосновении позволяет весьма просто строить круговые сечения тех поверхностей второго порядка, которые их имеют.

Для построения круговых сечений надо провести сферу, имеющую двойное прикосновение с данной поверхностью. В этом случае

линия пересечения поверхностей распадается на две плоские кривые, а так как эти линии принадлежат сфере, то они будут являться окружностями.

Пример 3. Построить круговые сечения эллиптического цилиндра (рисунок 12-7).

Из произвольной точки оси цилиндра описываем сферу такого радиуса, чтобы она касалась двух образующих цилиндра (см. вид спереди) и пересекала его (см. вид сверху).

Точки А и В будут точками двойного прикосновения, т.к. в них можно провести общие касательные плоскости Г№ и ГІ к цилиндру и сфере.

Линия пересечения сферы с эллиптическим цилиндром будет состоять из двух плоских кривых - окружностей.


Пример 4. Построить круговые сечения эллиптического конуса

(рисунок 12-8).

Для этого опишем сферу из некоторого центра 0, лежащего на оси конуса так, чтобы она имела двойное прикосновение с конусом и пересекала его.

Точки А и В - точки двойного прикосновения, т.к. можно провести две общие касательные плоскости Б и Д.

Линия пересечения распадается на пару окружностей.

Следовательно, если пересекать поверхность эллиптического конуса плоскостью под углом  к его оси, то получим в сечении окружность.

Какая из точек 1, 2, 3, 4 или 5 на рисунке 32, принадлежит поверхности призмы и поверхности пирамиды на рисунке 33 с учетом видимости?

  

 Рисунок 32 Рисунок 33

44. Построить профильную проекцию четырехугольной призмы и проекции линии a, принадлежащей ей (рисунок 34). Какая это линия в пространстве?

  Рисунок 34 Рисунок 35


Начертательная геометрия Машиностроительное черчение