Матрицы и определители Начала анализа Теория вероятности Теория поля Кратные и криволинейные интегралы

Математика Решение типового варианта контрольной работы

Элементы теории функций комплексного переменного

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции  и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Решение.

Выделим действительную и мнимую часть функции :

Таким образом, получим:

Найдем частные производные  и выясним, в окрестности каких точек они существуют и непрерывны, а также в каких точках плоскости выполняются условия Коши-Римана:

.

,

,

т.е.  для любых действитедбных х и у, и эти частные производные непрерывны во всей плоскости .

,

,

т.е.  для любых действитедьных х и у, и эти частные производные непрерывны во всей плоскости .

Так как условия Коши-Римана выполняются для любой пары действительных чисел   и частные производные  существуют и непрерывны в окрестности любой точки , то производная  существует в любой точке  комплексной плоскости С.

Найдем эту производную:

Итак, .

Действительная часть производной:

,

мнимая часть производной:

.

Задание 4. Определить вид кривой .

Решение.

.

Откуда

Выразим   из каждого уравнения:

Исключим  из уравнений:

.

,

, ,

,

  - уравнение гиперболы.


Математика Решение типового варианта контрольной работы