Матрицы и определители Начала анализа Теория вероятности Теория поля Кратные и криволинейные интегралы

Математика Решение типового варианта контрольной работы

Системы линейных алгебраических уравнений

Методом Гаусса (или методом исключения неизвестных) найти решение системы линейных алгебраических уравнений

 .

Решение.

Выпишем расширенную матрицу  данной системы и приведем ее к ступенчатому виду

.

Последовательно умножим первую строку на (–2) и прибавим ее ко второй строке, затем умножим на (–3) и прибавим к третьей строке, умножим на (–2) и прибавим к четвертой строке, получим

 .

Ко второй строке полученной матрицы прибавим третью строку, умноженную на , затем во вновь полученной матрице умножим третью строку на , четвертую – на (–1), затем последовательно умножим вторую строку на 2 и прибавим ее к третьей строке, умножим на 7 и прибавим к четвертой строке, получим

 .

Третью строку полученной матрицы умножим на , четвертую – на , затем третью строку умножим на (–1) и прибавим к четвертой строке, получим

.

Найденная матрица имеет треугольный вид; по этой матрице запишем систему уравнений, эквивалентную исходной системе,

 .

Последовательно находим неизвестные, начиная с последнего уравнения, ; подставим в третье уравнение найденное , вычислим  ,  ; затем из второго уравнения находим  ,  ; из первого уравнения получим  ,  .

Ответ : .

4. Найти общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений   .

Решение.

Элементарными преобразованиями строк приведем матрицу системы  к эквивалентной матрице , которой соответствует уравнение  , эквивалентное исходной системе. Таким образом, общее решение может быть записано в форме   , или  ,  . Решений бесчисленное множество – любая пара, связанная указанной зависимостью, обращает левые части уравнений данной системы в нуль. В системе  - число неизвестных и число уравнений.  , матрица системы, расширенная матрица системы. В силу теоремы Кронекера-Капелли система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от одного параметра  . Иногда общее решение удобнее использовать в форме

  .

5. При каких значениях  система

имеет нетривиальные (ненулевые) решения ? Найти эти решения.

Решение.

Однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения, когда ее определитель равен нулю. Из этого условия и найдем соответствующие значения   :

 .

Найдем теперь соответствующие решения.

1) При   система имеет вид :

 .

Определитель этой системы равен нулю. Это означает наличие линейной зависимости между уравнениями системы. Замечаем, что первое уравнение получается из второго и поэтому его можно отбросить. Имеем

 .

Так как определитель из коэффициентов при неизвестных  не равен нулю, то в качестве базисных неизвестных возьмем  (хотя можно брать и другие пары неизвестных) и перенесем члены с  в правые части уравнений :

.

Полученную систему можно решить по формулам Крамера :

где  ,  ,  .

Тогда   ,  . Полагая  , где  произвольное действительное число , получаем решение системы :  ,  ,  .

2) При   система имеет вид :

 .

Можно решить эту систему и методом Гаусса. Составим расширенную матрицу   полученной системы :

 и приведем ее к матрице ступенчатого вида :

 .

Восстановим систему для полученной матрицы

    

  .

Полагая   , где произвольное действительное число, получаем решение системы : .

Ответ : При  система имеет нетривиальные решения :  ,  ,  ,   . При  система имеет нетривиальные решения : ,  .


Математика Решение типового варианта контрольной работы