Задача 8.7. а) Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластины D, ограниченной линиями
![]()
Решение. Считаем плотность однородной пластины
Тогда ее статические моменты относительно осей ОХ и ОУ определяются формулами:
, а координаты ее центра тяжести
определяются формулами:
, где
- масса однородной пластины D с плотностью
Применяя эти формулы, получаем:
,
Тогда
.
б) Доказать, что работа силы
зависит только от начального и конечного положения точки ее приложения и не зависит от формы пути. Вычислить работу при перемещении точки приложения силы из
в
Решение. Проверяем условие, достаточное для того, чтобы работа силы
по перемещению точки по дуге
не зависела от формы пути:
,
, то есть
.
При этом функции
непрерывны в любой односвязной области D, содержащей
Тогда, для вычисления работы А =
находим криволинейный интеграл 2-го рода
В силу независимости этого интеграла от пути интегрирования вычислим его вдоль ломаной
где точка
:
Тогда
При вычислении криволинейного интеграла 2-го рода по
меняется от 0 до 1,
а при вычислении аналогичного интеграла по
а
меняется от 0 до 1.
Задача 8.8 а) Найти величину и направление наибольшего изменения поля
в точке
Решение. Доказано (см. [1], [2], [5], [6]), что скалярное поле U(M) имеет в данной точке М0 максимальную производную по направлению
, которая равна модулю градиента поля U в этой точке:
если за вектор
, указывающий направление дифференцирования, взять направление вектора gradU(M0). Поэтому в задаче требуется найти сам вектор
Приведем соответствующие вычисления:
,
,
,
б) Выяснить, является ли векторное поле
потенциальным.
Решение. Векторное поле
потенциально, если в каждой точке М из области определения поля
Находим
В этой формуле для удобства запоминания метода вычисления ротора использован формальный оператор Гамильтона «набла»:
,
действующий по правилу нахождения векторного произведения в прямоугольных декартовых координатах.
Для других типов полей, исследуемых в задании 8, приведем их определения:
Соленоидальное поле
в каждой точке М области V удовлетворяет условию
.
Гармоническое поле
является в каждой точке области V одновременно потенциальным и соленоидальным, то есть
и
В нашем случае
Тогда
следовательно, поле
не является потенциальным.