Задача 8.7. а) Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластины D, ограниченной линиями 
Решение. Считаем плотность однородной пластины
Тогда ее статические моменты относительно
осей ОХ и ОУ определяются формулами: 
, а координаты ее центра тяжести 
определяются формулами: 
, где 
- масса однородной пластины D с плотностью Применяя эти формулы, получаем:
,
Тогда 
.
б) Доказать, что
работа силы 
зависит только от начального и конечного положения точки
ее приложения и не зависит от формы пути. Вычислить работу при перемещении точки
приложения силы из 
в 
Решение. Проверяем условие, достаточное для того,
чтобы работа силы 
по перемещению
точки по дуге 
не зависела от
формы пути:
,
, то есть 
.
При этом функции 
непрерывны в любой односвязной области D, содержащей
Тогда, для вычисления
работы А =
находим криволинейный интеграл 2-го рода
В силу независимости этого интеграла от пути интегрирования вычислим его вдоль
ломаной 
где точка 
:
Тогда
При
вычислении криволинейного интеграла 2-го рода по 
меняется от 0 до 1, 
а при вычислении аналогичного интеграла
по 
а 
меняется от 0 до 1.
Задача 8.8
а) Найти величину и направление наибольшего изменения поля 
в точке 
Решение. Доказано (см. [1],
[2], [5], [6]), что скалярное поле U(M) имеет в данной точке М0 максимальную производную
по направлению 
, которая равна
модулю градиента поля U в этой точке:
если за вектор 
, указывающий направление дифференцирования, взять направление
вектора gradU(M0). Поэтому в задаче требуется найти сам вектор
Приведем соответствующие вычисления:
,
,
,
б) Выяснить, является ли векторное поле 
потенциальным.
Решение. Векторное поле
потенциально, если в каждой точке М из области определения
поля 
Находим 
В этой формуле для удобства запоминания метода вычисления ротора использован формальный оператор Гамильтона «набла»:
,
действующий по правилу нахождения векторного произведения в прямоугольных декартовых координатах.
Для других типов полей, исследуемых в задании 8, приведем их определения:
Соленоидальное
поле 
в каждой точке М области V удовлетворяет условию
.
Гармоническое поле 
является в каждой точке области V одновременно потенциальным
и соленоидальным, то есть 
и 
В нашем случае 
Тогда
следовательно, поле 
не является
потенциальным.